名指しでの人格攻撃が中心で、脅迫や個人情報の暴露がない場合は、開示が必ず認められるとは言いにくいです。
発信者情報の開示は、投稿があなたの権利を侵害していることが「明らか」なことと、開示を受ける正当な理由（損害賠償請求など）があることが基本の条件です。 
「メンクリ」と名指しで書くのは、文脈次第で侮辱や名誉毀損になり得ますが、単発の悪口や、受け取り方が分かれる表現だと、裁判所が「権利侵害が明らか」とまでは見ないこともあります。 
また、手続は以前より速くできる仕組みが作られていますが、裁判手続と証拠の整理が必要で、費用と手間はかかります。 
繰り返し10件程度、名指しで信用を下げる内容が続いているなら可能性は上がる一方、単なる茶化しや感想レベルだと微妙になりやすい、というのが実情です。
追記
権利侵害とまでは評価されにくく、開示まで進めても費用倒れになる可能性が高いです。
名誉毀損は「具体的な事実」を示して社会的評価を下げる場合に問題になりやすく、侮辱は事実の提示がなくても成り立ち得ますが、どちらも投稿内容が違法といえる程度かが見られます。 
今回の「メンクリ系だから」という言い方は、病歴などの事実を断定しているというより、レッテル貼りや揶揄として受け取られやすく、裁判所に「権利侵害が明らか」とまで言わせるハードルは低くありません。脅迫や個人情報の暴露がない点も、一般に開示の強い方向には働きにくいです。 
一方で、名指しで継続的に嘲笑し、あなたの人格や信用を落とす意図が明確で、周囲があなたを特定できる状態で拡散しているほど、違法性の評価は上がり得ます。 
損得の面では、開示請求は手続きが簡素化された仕組みがあるとはいえ、実務上は費用がそれなりにかかり得て、開示が取れないとその負担は基本的にあなた側に残りやすいです。 
仮に開示できても、慰謝料は高額になりにくいことが多く、かかった費用が全額そのまま回収できるとは限りません。 
さらに相手が支払わない場合は回収が難航しやすく、精神的な負担や長期化のリスクも現実にあります。
