①抽選という認識であっています。ただ今回は富士回遊を除いて事前受付不要だと思います。車両の一番端など特定の座席を利用したい場合を除いて、10時になった瞬間に満席になる列車ではないです。富士回遊は3両しかなく外国人利用も盛んで満席になりやすい列車です。心配であれば利用しても良いですが、事前受付はシートマップを利用して座席指定ができないため4人がボックス状に向かい合って利用できない可能性があります。なので1が月前10時にえきねっとから富士回遊をまず取るのが良いかと思います。
②そこまでしなくて良いかと。そもそも昔の所謂10時打ちを実施しない駅が増えています。10時以降に窓口の対応がスタートしないと取り合ってくれないと思います。
③今回は3歳のこども分も含めて指定席は4席確保したほうが良いです。3席のみだと、空いた一席に乗客が来た際にボックスにできなくなります。運賃、特急料金が不要になるのはあくまで膝の上に乗せた場合です。席を利用するなら特急料金と運賃が必要になります。
質問の意図がよくわかりませんでした。えきねっとではこどもでもチケットレス特急券は購入可能です。こどもがどうしても紙の特急券を欲しがらない限りかいじや富士回遊はチケットレスとしたほうが良いです。(列車変更の自由度や一人100円引きになる点から)
④富士山ビュー特急、フジサン特急は一ヶ月前0時から富士急のサイトで予約可能です。予約できるのは、3両のうちの1,2号車の指定席のみです。3号車はどちらも自由席なので始発の大月や河口湖から早めに並べば好きな場所に着席できます。特に河口湖から大月行きは富士山から大月間が3号車が先頭になるので前面展望がしやすいです。富士山ビュー特急には1号車でスイーツプランを利用することもできます。
⑤前面展望というのは、運転手の目線で列車の一番前から景色を眺められることです。富士山ビュー特急やフジサン特急は大月発なら1号車の指定席を押さえておけば最前列はフリースペースになっているので気軽に見ることができます。帰りの大月行きは自由席の争奪戦になります。富士回遊は完全に壁になっているので前面展望は楽しめません。
普通列車グリーン車は1枚のSuicaで4人分購入することはできません。1人1枚Suicaを持っていないとSuica料金では乗れない点は気をつけてください。足りない場合は紙のグリーン券を券売機かアテンダントから購入することになりますが割高となります。