家庭裁判所で養育費を給料天引きするように手続きしたら相手にどのような通知がいくのでしょうか？天引き開始はすぐに行われますか？

家庭裁判所にはそういう手続きはありません。



養育費を払う義務のある人が自分で勤務する会社に天引きして振り込んでくれと頼んで、会社が了解したときはできますが、当然家庭裁判所は無関係です。



もう一つは、家庭裁判所で調停や審判で養育費の負担義務を明確にして、それでも払わないときに、地方裁判所で給与の差押の手続きをすれば、本人と会社に差し押さえたという通知が発せられますので、養育費をもらう側が会社と連絡を取って振込口座などを伝えるなど調整することになります。