お母様のおっしゃる通り、どちらの歌も特に問題ないと私は思います。
瞼の母は、昭和の時代に繰り返し映像化された名作です。
赤穂浪士の忠臣蔵は、10年ほど前まで毎年のように年末にテレビドラマ化されていました。
これらを題材にした歌を歌うことに何の問題があるのかな?と不思議に思います。
瞼の母には、ヤクザ同士の斬り合いの場面がありますし、忠臣蔵は史実に基づいた悲壮な事件の物語ですが、近年の映画やドラマにもそうした場面はありますし、現代の観点から見ても特に問題がある作品ではありません。
高齢の利用者の皆さんには、懐かしい昭和の名曲としか思われないでしょうし、若い世代の職員さんが聴いてギョッとするような歌詞でもないと思います。
質問者さんの考えすぎではないでしょうか?
私は50代の男なので、質問者さんより頭が古いのかもしれませんが。