b≠0として
ax+by-c=0において、cはax+by-c=0のy切片の値のb倍の値であり
dをd=ax₀+by₀とすると、dはax+by-c=0に平行で(x₀,y₀)
を通る直線のy切片のb倍の値となる。
よって、|ax₀+by₀-c|=|dｰc|...①
となりこれは二直線のy切片の距離のb倍の値となる。二つの直線のy切片をC,Dとすると
DC↑=(0,(c-d)/b)であり、ax+by-c=0の法線ベクトルへの正射影ベクトルは
(c-d)/(a²+b²)･(a,b)=（a(c-d)/(a²+b²)、 b(c-d)/(a²+b²)）
このベクトルの絶対値は
√{( a²(c-d)²/(a²+b²)²＋b²(c-d)²/(a²+b²)²}
=|c-d|√(a²+b²)/(a²+b²)²=|c-d|/√(a²+b²）
①より、
|ax₀+by₀ｰc|/√(a²+b²)
三次元も似たようにできるので、ぜひ。
