アップルの課金カードを購入し、登録したのですが、支払いの時に表示されるのが自分のではなく親のなんですけど、カードをストアで読み込んだ後に必要な動作って他にもありますか？

アカウント残高にチャージすると、残高が最優先で支払いに使われます。

支払い方法の選択肢が出てしまうのはおかしいので、
もし、支払い方法にApple Payを登録しているなら削除しましょう。
(Apple Payはアプリ課金には不要)