インスタでDMの画面から問い合わせというボタンがあると思うんですけど、それでメッセージを送りました。このような画面になっているのですが、相手には入力したメッセージは届いているのでしょうか？

はい、インスタグラムでダイレクトメッセージ（DM）を送信すると、そのメッセージは相手のインスタグラムアカウントに届きます。ただし、相手が通知をオンにしているか、アプリケーションを開いているかによってメッセージがすぐに確認されるかどうかは変わります。また、相手がメッセージを非表示にしている場合やミュートしている場合など、特定の状況ではメッセージが表示されないこともあります。
メッセージが届いているかどうかは、相手の行動によりますが、インスタグラムのシステム的には届いています。