あけおめLINEは元日に送って問題ありません。理由は以下の通りです。
・新年の挨拶は季節の挨拶であり、未読状態でも送るのが自然です
・元日を過ぎてから送ると、かえってタイミングを逃してしまいます
・相手が未読にしている理由は様々(忙しい、スマホを見ていない等)で、あなたを避けているとは限りません
・既読がつくまで待つと、相手にプレッシャーを与える可能性があります
ただし、送る際の注意点として、・シンプルな新年の挨拶にとどめる・返信を強要するような内容は避ける・相手のペースを尊重する姿勢を示す、といった配慮をすると良いでしょう。
相手から返信がきたタイミングで、自然な会話を再開することをお勧めします。