∃!xF(x)が証明できるとき、これはF(x)を満たすxがただ一つ存在するという意味になります。そのただ一つのxをdとする、ということを数学では良くするかと思います。これは、論理学的には新しい定数記号dを追加し、F(d)∧∀x(F(x)→x=d)を公理に追加したということでしょうか？

公理を追加する場合はF(d)だけで大丈夫です. 一意性はそもそも言えているので.

それか記号を追加せずに略記だと思って議論を進めるかどちらかです.

例えば F(x) を満たすただ一つの x を x_0 とかくことにするとき

ある関係 R(x) について R(x_0) と記述したければ

∀x(F(x) → R(x))

の略記だと思えばOK.