前会社での社会保険の脱退手続きは前会社がしますので何もしなくて大丈夫です。
転職先での手続きは、源泉徴収票・雇用保険被保険者証・年金手帳または基礎年金番号通知書は、転職先から提出を求められます。
退職日と同じ月に転職する場合、あるいは月末に退職して翌月すぐに再就職する場合、国民年金の種別は引き続き第2号被保険者で年金は厚生年金のままなので、年金の切り替えは必要ありません。
会社を退職後は健康保険も変更になるので、前の会社で使っていた健康保険証は返却します。
退職後すぐに転職する場合、新たに転職先の健康保険に加入します。
その際の手続きは、転職先に前の会社からもらった健康保険資格喪失証明書を提出するだけです。
【住民税】すぐに転職する場合
退職月の翌月には転職する場合、住民税は継続して特別徴収によって納めることになります。
すぐに転職するときは、退職する会社から「給与支払報告・特別徴収に係る給与所得者異動届出書」を入手しましょう。この書類を転職先に提出すれば、引き続き特別徴収で住民税を納めることができます。