定番のお寺がどこらへんまで含むのかわかりませんが、烏丸にある六角堂はこじんまりとしてるけど生け花の発祥の地でお花が綺麗に飾ってあってお勧めです。お正月っぽくていいんじゃないでしょうか。
あと嵐山の近くの松尾大社はお酒の神様で面白いです。酒造関係の人がスーツでお参りに来たりします、門前の茶屋の甘酒がおいしいです。
嵐山なら法輪寺というお寺があるんですけどちょっと高台にあって見晴らしがいいです。
オススメのご飯屋さんは、手鞠寿司とお茶の宗田とかどうですか?やってるかな??
お正月に京都に来るなら白みそのお雑煮やニシンそばの食べられるお店とかかなぁ、松葉とか?(高いけど)
お土産は亀屋良長の季節の干菓子がかわいくておいしいです~。