機種変更をしてからメールをしばらく使えていたのですが急にログインの画面になってしまい、ログインしようとするとサインイン中から全く進みません...今までそのメールアドレスで登録していたものもあるのでできるだけ新規登録は避けたいのですが、それしか方法はないでしょうか？

メールアカウント設定をやり直しましょう。
メアドによって違います

◆iCloudメール
設定アプリ→自分の名前→iCloud
→メール
→このiphoneで使用をon

◆キャリアメール
キャリアのマイページから構成プロファイルをダウンロードします。

◆Gmailなら設定→メール→アカウント→アカウント追加 →googleを選択してログイン

◆yahooなら
(以下略)