YouTube アプリなら、
右下マイページ→右上歯車→再生→次の動画を自動再生
です。
YouTube PCサイトなら、プレーヤーの上にマウスカーソルを持って行った時に、右下に設定のスイッチが浮かび上がりますからそこから設定できます。
公式ヘルプでは以下に説明されてます。
google.com/YouTube/answer/6327615?hl=ja">https://support.google.com/YouTube/answer/6327615?hl=ja
なお、この設定が生きるのは、単独の動画再生時のみです。
再生リスト、ミックスリスト、後で見る、高く評価した動画、などのリストの再生時はリストの最後まで止まってくれません。
