いま賃貸に住んでいるのですが独立洗面台の電灯近くの上の部分にヒビが入りかけてしまいました（横5センチくらい）日本共済で火災保険で補修できるか連絡したところ対象外と言われてしまいました。管理会社に正直に言うしかないのでしょうか…

管理会社に連絡した方がよいです。

あなたに故意も過失もないのであれば、

貸主所有の設備の修繕交換費用を

負担する義務はないです。

一方、設備等の損耗等を発見したら

貸主に届け出るという、善管注意義務

がります。契約書に記載があると思います。

損耗等を発見したのに貸主に報告しないで

被害が拡大した場合は、その部分につき

損害賠償するなどという規定です。

報告さえすれば、修理や応急措置を

貸主が行わなくて、被害が拡大しても

それは貸主の責任です。