ゲーム好きなら東京タワー下のフットタウンにある「RED°TOKYO TOWER」が良いのでは。3年前にオープンした日本最大級のデジタルアミューズメントパークです(3日までは営業時間が短縮しています)。また、東京タワーのすぐ近くに「増上寺」という徳川家の菩提寺となっている大きなお寺があります。比較的空いている穴場&映えスポットなので、同時に初詣に行くと良いでしょう。
https://tokyotower.red-brand.jp/
https://www.zojoji.or.jp/
それから水道橋の「東京ドームシティアトラクションズ」。東京ドームの隣にある都市型遊園地ですが、アトラクションの中にはゲーム性の高い物も複数あります。また、東京ドームシティ内やラクーア内に飲食施設があり、セントラルゾーンやバイキングゾーンにフードトレーラー店舗もあります。
水道橋より1駅隣の飯田橋から「靖国神社」まで歩いて行けます。靖国神社も年始は7日ごろまで出店が出て賑わいます。
https://www.tokyo-dome.co.jp/
その他、屋台の出ている初詣スポットならば、
門前仲町の「富岡八幡宮」。日枝神社、神田明神と並ぶ江戸の代表神社です。年始は例年5日くらいまで屋台が沢山出てます。
http://10jinja.tokyo/tomiokahachimangu.html
原宿の「明治神宮」も屋台は例年8日くらいまで出てます。竹下通り・表参道が近く、飲食店は豊富にあり繁盛しています。キャラグッズ専門雑貨店「キデイランド」へ行けばゲーム系グッズも多少は売ってます。明治神宮は混雑する神社として有名ですが、三が日を外せば混雑度も酷くないはずです(以前1月3日に行った時は1時間30分並んだ)。
https://www.meijijingu.or.jp/