証明は手に余りますが：
この定理は「幾何学大辞典 巻6 槇書店」582（p.281）に載っています
証明は円錐曲線（2次曲線）に内接する6角形についてのPascalの定理を使った，たった8行の簡潔なものです
したがって，この定理の初等的な証明は円錐曲線（2次曲線）に内接する6角形についてのPascalの定理が初等幾何学的に証明できれば良いことになります
その Pascal の定理は「幾何学大辞典 巻1 槇書店」724（p.402）に3通りの証明とともに載っています
証明の2つは座標を用いたもの(?), 残りもう1つは射影幾何学によるもののようです
そもそも，一般的な円錐曲線そのものを（楕円や双曲線，放物線の場合分けをせずに）初等幾何学で定義し，その範疇で証明するのはハードルが高そうな印象を受けます（全く個人的な感想ですが）
Pascalの定理は円の場合を射影で拡張したもの（と，724に書いてある）らしいので，初等幾何的なアプローチは容易ではないのかもしれませんね（容易だったら，Pascal先生ならばそれでスイスイ導いているでしょうから…）
なお，幾何学大辞典は書店では入手できないので，（お持ちでないならば）大きな図書館での閲覧になると思います
