H₂OとH⁺を同じと考えてること自体が誤りです。
NH3+H2O⇆NH4++OH-
これは、単にアンモニアを水に溶かした状態なので「弱塩基」としてのふるまいを示しているので、当然「⇄」
後の方の式は、省略されていますが、「中和反応」の式です。
H⁺が単独で出てくるわけがないので、何らかの「酸の溶液」です。
つまり、NH3+H2O⇆NH4++OH-
にH⁺が加われば、H⁺+OH⁻で「中和」反応が進むので、当然「平衡」は右に移動します。エネルギ的にも中和は「発熱」反応なので「ほぼ完全に右に進む」と考えてよいです。
NH₃+H₂O⇆NH₄⁺+OH⁻
NH₄⁺+OH⁻+H⁺→NH₄⁺+H2O
両方足せば
NH₃+H⁺→NH₄⁺