trip.comで飛行機とホテルをとったのですが、予約完了のメールは来ていても飛行機の公式サイトでは、予約検索してもでてこず不安になっています。これはきちんと予約完了できているのでしょうか？

Trip.comのような外部の予約仲介サービスを使うと
航空会社サイトで予約確認ができないのはアルアルです。
質問者さんが契約をしたのはTrip.comであって、
航空会社とは直接契約をしていないからです。
航空会社と契約を締結したのはTrip.comなので、
予約確認に必要な連絡先もTrip.comの担当者になっています。
質問者さんはTrip.comのサイトで確認できれば良く、
航空会社のサイトを見る必要はありません。