全xで(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc が成り立ちます。
a+b+c=0 ですから、
● (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + (ab+bc+ca)x - abc
⇔ x^3 + (ab+bc+ca)x - abc = (x-a)(x-b)(x-c)
⇔ x^3 = abc - (ab+bc+ca)x + (x-a)(x-b)(x-c) 、が成り立つとも言えます。
x=a のときも成り立つから a^3 = abc - (ab+bc+ca)a 。
x=b のときも成り立つから b^3 = abc - (ab+bc+ca)b 。
x=c のときも成り立つから c^3 = abc - (ab+bc+ca)c 。
これら 3 つを足すと、
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc - (ab+bc+ca)(a+b+c) 。
a+b+c=0 ですから、
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc 。
置き換える理由は、
a+b+c を作ってはそこを 0 に置き換えるのを繰り返す書き方にすると
解法の文書量が多くなってしまうからです。
それをやる代わりに c の所を -(a+b) に置き換えて変形した方が、
解法の文書量が全体的に少なくても済む、それだけです。
「だけ」とは言っても、その方が見やすいし、計算ミスが起きにくい。
