大変でしたね…
痛みの中で手続きやお金の心配まで重なったら、疲れてしまうのも無理ないと思います。
結論から言うと、後日支払いができるかどうかは病院次第で、必ず通用するわけではありません。
今回のように、仕事中に重たい物が足に乗って症状が悪化した場合は、元々軽い陥入爪があっても労災扱いになるのは珍しくありません。
労災書類が間に合わないため「一旦10割負担」と言われることもありますが、労災指定病院で事情を説明すれば、後日精算や預かり金対応をしてくれるケースもあります。
自費で数万円〜十数万円かかる場合、必ず後日支払いにできるとは限らないので、受診前に病院へ電話で相談するのが一番確実です。
年末で書類が揃わないことや元々の症状を、あまり気にしなくて大丈夫ですよ。
お大事になさってください。