法律の運用上としては、年齢証明書のほか、「住民票の写し」や「住民票記載事項の証明書」で良いことになっています。
どっちかを用意するしかないです。
バイト先に連絡できるなら、「本籍地が○○で年齢証明書をもらいに行けないので、住民票の写しでいいですか」などと聞いておきましょう。
もう明日ってことで、聞かずに持ってっちゃってもいいかもしれませんが。
この中で、雇用者（バイト先）が何で年齢証明書を求めるのかっていうと、無料だからです。
「住民票の写し」や「住民票記載事項の証明書」は有料です。
場合によっては今日の役所が開いている間（たぶん17時とか）までに取りに行かないといけません。
住民票のある市区町村役所に行けるなら、住民票等の証明書発行窓口に行って、「住民票の写し」や「住民票記載事項の証明書」を取得することができます。
身分証明書が必要です。
運転免許証があればそれで良し、無ければ、「健康保険の資格確認書」（旧保険証）と学生証の2つで、たぶんどうにかできます。
「住民票記載事項の証明書」の場合、記載項目の用紙の用意が必要になることがあります。
用紙不要で、役所側の様式で取得できることもあります。
できなければ、「住民票の写し」の方にしましょう。
マイナンバーカードがあるなら、日本全国どこのコンビニからでも24時間、「住民票の写し」を取得することができます。
住民票のある市区町村役所に行けず、マイナンバーカードもないなら、行ける場所の市区町村役所どこでも、「住民票の写し」の広域交付ができます。
対応窓口が限られるので、サイトで確認してください。
交付手続きの詳細は、市区町村役所のサイトで住民票のページを確認してください。
「住民票記載事項の証明書」は、「住民票の写し」の一部の情報だけが記載された証明書です。
バイトに不必要な個人情報を要求しないという配慮で、「住民票の写し」ではなく「住民票記載事項の証明書」が使われることがあります。
そういう配慮の上で、雇用者向けの情報として、証明書が必要なときは戸籍謄抄本や「住民票の写し」ではなく、年齢証明書や「住民票記載事項の証明書」を使うようにとされていますが、労働者本人が差し支えないなら、「住民票の写し」でいいです。
ただ、雇用者側の責任者なり担当者なりがマニュアルでしか判断できない人の場合、「マニュアルでは年齢証明書だから年齢証明書を持ってこい」みたいな対応になる可能性はあります。
どうにか説得してください。
参考：
労働者名簿等の記載について（抄）(◆昭和50年02月17日基発第83号婦発第40号)
https://www.mhlw.go.jp/web/t_doc?dataId=00tb1915\u0026amp;dataType=1\u0026amp;pageNo=1
「一 労働基準法関係
イ 労働基準法第五七条に定める年少者の年齢証明書については、戸籍謄(抄)本又は年少者の姓名及び生年月日を記載して本籍地を管轄する地方自治体の長が証明したもののほか、昭和四三年一〇月四日付け基発第六三六号。婦発第三二六号通達により、使用者が住民基本台帳法(昭和四二年法律第八一号)による住民票の写しを備えている場合には労働基準法第五七条違反としては取り扱わなくても差し支えないものとしているところであるが、今後は、これらに代えて、住民基本台帳法第七条第一号(氏名)及び第二号(出生の年月日)の事項についての証明がなされている「住民票記載事項の証明書」を備えれば足りること。」
