I(p)=∫[0,∞] log x /(p²+x²)dxと置きます。x→pxと変換すれば
I = (log p /p)∫[0,∞] dx/(x²+1) + (1/p)∫[0,∞] log x /(x²+1)dx
です。1つ目の積分はπ/2です。一方で2つ目は区間を1を境に分けてx→1/xと変換すれば、0になるとわかります。
よって
I = (π log p)/(2p)
です。ここでIのpでの微分を積分と入れかえれば
I' = -2p∫[0,∞] log x /(p²+x²)² dx
となります。あとは上の結果の右辺の微分と比較すれば
∫[0,∞] log x /(p²+x²)² dx = π/(4p³) (log p - 1)
が得られます。
