こんな時期だから余計かも？ですけどエンジン始動したらアイドリングが2000rpmくらいになります。そのまま発進していいものですか？もちろん発進直後にフル加速とかはしません。

構いません。エンジンが温まるまではアクセルを踏み込まない運転がエンジンに優しい運転です。

止まったまま暖気など、近所迷惑な行為です。

昔は暖気しないとエンストするなど、安全に走るために暖気運転が必要でしたが、今は暖気しながらの運転で大丈夫です。