どの四角形が円に内接するという問題なのか、質問文に書いてありませんが(画像にしか書いてありませんが)、BCEFが円に内接することを示す問題ですか。
確かに円周角の定理の特別な場合ではあるのですが、円周角の定理より前に、直角三角形の外接円の直径はその直角三角形の斜辺になる、という性質が出てきませんでしたか。それを使うと、∠BFCも∠BECも直角なのでBCは△BFCの外接円の直径でもあるし△BECの外接円の直径でもある、ということはBとFとEとCは同じ円の円周上にあるので、BCEFは円に内接する、となるのです。これがBCが直径であることを示した理由。
ついでに「BCの直径とする円」ではなく「BCを直径とする円」です。数学の答案は日本語の文章ですから、文法は正確に。
