4→2はその後2人ずつでじゃんけんして勝敗が決まれば順位は決まりますよね。
2人ずつの2組がそれぞれじゃんけんするのをまとめて1回とすれば普通に計算できるので、これも考慮するべきかと思います。
その前提で、結論から言うと確率は
-8(n+2)(1/3)^n + (24/5)(1/9)^n + (1008/65)(13/27)^n
になります。
n=12まで計算してみると、
n, 確率
1, 0.00%
2, 9.88%
3, 25.61%
4, 24.16%
5, 17.09%
6, 10.54%
7, 6.01%
8, 3.26%
9, 1.71%
10, 0.88%
11, 0.44%
12, 0.22%
…
となります。
少しだけ検算してみると、
n=2の場合、4→(2,2)→1なので、
2/9・(2/3)² = 8/81 ≒ 9.88%
n=3の場合、
4→(2,2)→(2,2)→1の場合が2/9・(1/3)²・(2/3)² = 8/729
4→(2,2)→2→1の場合が2/9・2(1/3)(2/3)・2/3 = 16/243
4→3→2→1の場合が8/27・(2/3)・(2/3) = 32/243
4→4→(2,2)→1の場合が13/27・2/9・(2/3)² = 104/2187
全部足すと8/729+16/243+32/243+104/2187=560/2187≒25.61%
求めた式の計算結果と合っていますね。
以下、求め方
確率母関数を使って求めました。
確率変数X(Xが取る値は0以上の整数)がnになる確率をPr(X=n)のように書くとすると、Xの確率母関数は
G(x) = Σ[n=0,∞] Pr(X=n) x^n
になります。
つまり、「X=nになる確率」=「x^nの係数」とした関数が、Xの確率母関数です。
そのため「4人でじゃんけんをして順位が決まるまでの回数の確率母関数」を求めて、x^nの係数を求めれば、それが答えになります。
そして、a人でじゃんけんをして順位が決まるまでの回数の確率母関数をG_a(x)のように書くとすると、
G_4(x) = x((13/27)G_4(x)+(8/27)G_3(x)+(6/27)G_(2,2)(x))
が成り立ちます。
1回じゃんけんをするので最初にxが掛けてあり、その後
13/27の確率でG_4(x)のまま。
8/27の確率でG_3(x)になる。
6/27の確率でG_(2,2)(x)になる。
という形です。
※G_(2,2)(x)は勝者2人と敗者2人に分かれて、それぞれじゃんけんするのを1回としたときに順位が決まるまでの回数の確率母関数です
① G_2(x)について考えます。
2人でじゃんけんをしたときに順位が決まるまでの回数を確率変数Aとすると、n回で順位が決まる確率Pr(A=n)は、
Pr(A=n) = (1/3)^(n-1)・(2/3)
よって、Aの確率母関数G_2(x)は
G_2(x) = Σ[n=1,∞] Pr(A=n) x^n
= Σ[n=1,∞] (1/3)^(n-1)・(2/3) x^n
= 2x/(3-x)
② G_3(x)について考えると、1回じゃんけんをした結果
1/3の確率でG_3(x)のまま。
2/3の確率でG_2(x)になる。
という形なので、
G_3(x) = x((1/3)G_3(x) + (2/3)G_2(x))
G_2(x)を代入して、G_3(x)について解けば、
G_3(x) = 4x²/(3-x)²
③ G_(2,2)(x)について考えると、
2人のじゃんけんがn回以下で終わる確率はPr(A≦n) = 1-(1/3)^n
そうすると、2人の組が2組でじゃんけんをしたときに、n回以下で両方終わる確率は (Pr(A≦n))² = (1-(1/3)^n)²
これを使うと、ちょうどn回で終わる確率は、
(Pr(A≦n))² - (Pr(A≦(n-1)))²
= (1-(1/3)^n)² - (1-(1/3)^(n-1))²
= 4(1/3)^n - 8(1/9)^n
となるので、確率母関数は、
G_(2,2)(x) = Σ[n=1,∞] (4(1/3)^n - 8(1/9)^n)x^n
= Σ[n=1,∞] (4(x/3)^n - 8(x/9)^n)
= 4x/(3-x) - 8x/(9-x)
④ 後はG_4(x)を計算していきます。
G_4(x) = x((13/27)G_4(x)+(8/27)G_3(x)+(6/27)G_(2,2)(x))
に、今まで計算した式を代入して、G_4(x)について解くと、
G_4(x) = 32x³/((3-x)²(27-13x)) + 24x²/((3-x)(27-13x)) - 48x²/((9-x)(27-13x))
部分分数分解をして整理すると(あまりに面倒だったのでWolframAlphaを使いました)
= -56/13 - 24/(3-x) - 72/(3-x)² + (216/5)/(9-x) + (27216/65)/(27-13x)
それぞれの項を級数の形に戻すと、
-24/(3-x)
= -8/(1-x/3)
= Σ[n=0,∞] -8(1/3)^n・x^n
-72/(3-x)²
= -8/(1-x/3)²
= Σ[n=0,∞] -8(n+1)(1/3)^n・x^n
(216/5)/(9-x)
= (24/5)/(1-x/9)
= Σ[n=0,∞] (24/5)(1/9)^n・x^n
(27216/65)/(27-13x)
= (1008/65)/(1-13x/27)
= Σ[n=0,∞] (1008/65)(13/27)^n・x^n
よって、n≧1のとき、G_4(x)のx^nの係数は、
-8(1/3)^n - 8(n+1)(1/3)^n + (24/5)(1/9)^n + (1008/65)(13/27)^n
= -8(n+2)(1/3)^n + (24/5)(1/9)^n + (1008/65)(13/27)^n
となって、これがそのまま「4人でじゃんけんをするとき、ちょうどn回で順位が確定する確率」です。
