これは成功確率pの幾何分布なので
c₃=1
gₓ₃(θ)=p/(1-(1-p)eᶿ)
E[X₃]=(1-p)/p
V[X₃]=(1-p)/p²
などは知識としてすぐに出ます。
丁寧にやる場合は以下の通り
簡単のため、適宜q≔1-pとおきます。
⑴
Σ_(x₃⩾0) fₓ₃(x₃)=c₃pΣ_(x₃⩾0) q^x₃
=c₃p•1/(1-q)
=c₃p/p
=c₃ =1
∴c₃=1
⑵
gₓ₃(θ)=E(exp(θX₃))
=Σ_(x₃⩾0) e^(θx₃) •pq^x₃
=pΣ_(x₃⩾0) (qeᶿ)^x₃
=p•1/(1-qeᶿ)
=p/(1-(1-p)eᶿ)
⑶平均と分散は直接
E[X₃]=Σ x₃•pq^x₃
V[X₃]=Σ x₃²•pq^x₃ -E[X₃]²
と計算するか、もしくは
E[X₃]=gₓ₃’(0)
V[X₃]=gₓ₃’’(0) -gₓ₃’(0)²
で求められます。
