該当の画面が表示される状況として、次のいずれか（または両方）が当てはまることを前提にして回答します。
・タイトル画面で google Play Games のログインやプロフィール作成を求められ、先に進めず詰まってしまう（無視して閉じればゲーム自体は遊べる）
・ホーム画面で「google Play と連携」を設定しようとすると、同様の画面が表示されて進めなくなる
以前、ファミリーリンクが有効なアカウントで新規プレイを開始するとどうなるのか気になり、実際に検証したことがあります。
私の試した範囲では、ファミリーリンクを解除しない限り、管理者アカウント側で許可を出しても、質問者さんと同じように途中で進行不能になってしまいました。
対策として最も確実なのは、一度ファミリーリンクを解除したうえで「google Play と連携」の設定を完了させ、連携済みの状態にしてしまう方法です。
その後にファミリーリンクを再設定しても問題なく動作することは確認済みです。管理者の方に協力してもらえるなら、この方法が最も手早いと思います。
一方、ファミリーリンクを一時的にでも解除したくない場合は、「google と連携」の方であればファミリーリンク有効状態でも利用できたはずです。
こちらで連携を済ませておけば、アプリの再インストールや機種変更にも対応できます。
ただし、この方法だと起動のたびにタイトル画面での案内が表示され続ける煩わしさと付き合う必要があります。
※挙動から推測すると、ファミリーリンクが有効なアカウントでは Play Games のプロフィール作成や、それに紐づくゲームアカウントの新規作成に制限が掛かっているようです。
管理者の許可があれば本来は google 側の提供する仕組みで新規作成が可能なはずですが、プロセカ側がその仕組みを正しく利用できていない（実装漏れ、またはバグ）ために途中で失敗してしまっているのではないかと思われます。
