こういう帽子はどうやって洗えばいいのですか？

素材によるがパナマハット系は基本洗濯できない。普段からブラッシング、内側の皮脂汚れはウエットティッシュなどでまめに拭く。

取り扱っているクリーニング店に相談する。こんな感じですね。