＞録画できるか
録画予約されている番組は、「制限モード」がオンになっても予約した通り録画されます。
「制限モード」がオンの状態で録画を予約したり、「今すぐ録画する」ことはできません。
＞お父様がどういう意味で「初期化」という言葉を使われたかどうかによります。
HDDの初期化を行うと、録画のデータは全て消去されます。
テレビの設定の初期化（設定リセット）を行っても、録画のデータは消去されません。
全ての情報の初期化（個人情報の消去）を行うと、録画のデータは全て消去されます。
以下は「いらない」コメントになりますが、あえて書かせてください。
もし、お母様が「テレビの制限モード？みたいなのをONにした」原因が、質問者さん（の行動）に関係ない、別のことでしたら、以下は無視してください。
どうしても番組を録画したい、視聴したい、というお気持ちはわかりますが、もし原因が質問者さん（の行動）にあるのなら、それを理解して取り除かないと、根本的な解決にはならないと思います。
お父様、お母様とよく話し合われることをお勧めします。
余計なお世話、失礼しました。
