①国民年金は11月分だけ請求が来ますし、手続きをしないと「未納」になって、障害年金の請求などが不利になり場合も有ります。
17510円です。マイナポータルでも切替手続きできます、
離職票を添付した免除申請をすれば、免除も通る可能性が高いです
②国保の方は、退職後の健康保険の加入の選択肢が多い(任意継続、家族の扶養)ため、必ず国保に入るとは限らないので、自分で加入手続きをしない限り請求は来ません。
ただし、11月7日~12月7日までの間に、前の会社の保険で保険診療を受けた場合は前の会社に7割給付分を返金して、その分国保に払ってもらおうと思ったら加入手続きが必要になります。