絶対値同士の足し算引き算は成り立たないんですか？0以下の場合を使って場合わけした｜a ｜｜b ｜を｜a十b ｜にするとき、4通り作れば良いんじゃないですか？そして、掛け算が成り立つのは何故ですか？

質問は，

f(|a|, |b|)=|a+b|を満たす2変数関数f(x, y)が存在するか。

という問題となります。

そして，そのような関数は存在しないことが示せます。



2変数関数f(x, y)で

f(|a|, |b|)=|a+b|

を満たすものが存在すると仮定する。

a=1/2，b=1/2のとき，f(1/2, 1/2)=1 … ①

a=1/2，b=-1/2のとき，f(1/2, 1/2)=0 … ②

①，②より，1=0が導かれるので，矛盾。

よって，f(|a|, |b|)=|a+b|を満たす2変数関数f(x, y)は存在しない。