すべての n で 0\u0026lt;an\u0026lt;1ならばa1a2•••ak（k→∞)=0の反例が2^-1/2^nと出てきたのですが、logを使って和の形のはわかるのですがそこからどうしてこのような形になるのでしょうか？

a_n=2^{-1/2^n} とすると、a_1a_2…（k→∞）は 0 ではなく 1/2 になります。

理由は、積が「指数の和」になるからです。
a_1a_2…a_k = 2^{-(1/2^1)} 2^{-(1/2^2)} … 2^{-(1/2^k)} = 2^{-(1/2+1/4+…+1/2^k)} となり、指数は等比級数なので 1/2+1/4+…+1/2^k → 1 です。
したがって a_1a_2…a_k → 2^{-1} = 1/2 で、0 にはなりません。

logで見るなら、log(a_1…a_k)=Σlog a_n=Σ( -(log2)/2^n ) → -(log2) なので、積は e^{-(log2)}=1/2 という同じ結論になります。