わたしの回答は一般的な回答と違うので、そこのところ適当に判断ください。
犬の習性を考えたトレーニングになります。
今行っているトレーニングは、犬の習性を「無視」したやり方です(これが一般的なやり方だと思うが、}。
ケージで、排泄したら「ご褒美をやって褒めまくる」トレーニングをする。
散歩中に排泄するようになると、室内では排泄しなくなります …… これが犬の習性です。
犬は、家のテリトリー内で排泄ができるか!と思っているでしょう。
散歩中の排泄は、安心できるトイレの場所になります。
犬の習性は、寝床周辺では排泄しないです(ケージ内では排泄しないってことです)。
寝床周辺で排泄していると、外敵が匂いで居場所を知り狙ってくるかも知れないです。
寝床周辺で排泄していると、寄生虫が湧き(病原菌の発生になる) …… これを嫌がって寝床を汚さない、とか言われます。
この説明は大嘘なのかなぁ?
ケージなど寝る場所で排泄させるのは良くないように思います。
ケージは、寝る場所でくつろぐ場所です …… 便所じゃないです。
返信欄にYouTube 動画の「チャピー」があります。
ここの環境は理にかなったやり方だと思っています。