大家をしています。不動産賃貸借契約は、貸主(大家)と借主(入居者)との当事者間の合意なので、1月契約で3月中旬に入居することを双方が合意すれば問題なく可能です。
2月、3月は就職、進学の需要で賃貸不動産市場が最も動きますので、人気の物件はすぐに埋まってしまいます。SUUMOやHOME'Sなどで希望に合う物件を見つけたら、まずは仲介不動産会社に3月中旬入居でも契約可能か聞いてみるとよいです。
ただし、大家さんによっては、入居前キャンセルの場合は初月分の家賃は違約金として返却しないですとか、3月は日割りではなく1か月分にするですとか、何らかの条件を課す場合もありますので、内容を確認の上、年明けから動かれるとよいと思います。