一般に n次方程式で言えます.
簡単のため, ３次で説明します
ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,dは有理数
を考えます.
任意の有理数 p,q に対し, N(p+q√m)=p-q√m とすると,
N((p+q√m)+(r+s√m))=(p-q√m)+(r-s√m),
N((p+q√m)(r+s√m))=N(pr+qsm+(ps+qr)√m)
=pr+qsm-(ps+qr)√m=(p-q√m)(r-s√m)
が成り立ちます.
このことから x=p+q√m がax^3+bx^2+cx+d=0の解なら,
0=N(ax^3+bx^2+cx+d)
=aN(x)^3+bN(x)^2+cN(x)+d
となって, X=N(x)=p-q√m は
aX^3+bX^2+cX+d=0
解になることがわかります.
後半は例えば, x-(p+q√m) =0が x=p-q√mを解にもたない例です。
