重要例題172 正四面体と球一辺の長さがaである正四面体ABCDがある。(１)正四面体ABCDに外接する球の半径Rをaを用いて表せ。(２)(１)の半径Rの球と正四面体ABCDの体積比を求めよ。(３)正四面体ABCDに内接する球の半径rをaを用いて表せ(４)(３)の半径ｒの球と正四面体ＡＢＣＤの体積比を求めよ。この問題がどういうふうに体積を区切るのかよくわかりません。数弱なので分かりやすくこの問題について解説していただけると助かります。

CDの中点Mとする

BM=√3/2a

△BCDの重心Gとする

BG=√3/3a

AB²=BG²+GA²

高さ

AG=√6/3a

球の中心Oとする

OB²=OG²+BG

R²=(√6/3a-R)²+1/3a²

=2/3a²-2√6/3aR+R²+1/3a²

２√6/3aR=a²

R=√6/4a

（２）正四面体の底面積1/2×a✖asin60°=√3a²/4

高さ√6a/3なのでV=1/3×√3a²/4×√6/3a=√2/12a³

半径Rの球4π/3(√6/4a)³=√6πa³/8



球：四面体=√6/8πa³:√2/12a³=3√3π:2

(3)内接球の中心Oとする

V=△OABC+△OABD+△OACD+△OBCD

√2/12a³=1/3r(√3/4a²×4)



r=√6/12a

（４）半径rの球の体積

4/3π(√6/12a)³=√6πa³/216

半径rの球の体積:四面体の体積

=√6πa/216:√2/12a³＝√3π:18