第二可算公理を満たす⇒リンデレフ空間の証明を考えました。合ってますか？(X,O)は位相空間。(Uλ)λ∈ΛはOの元の族。X⊂U[λ∈Λ]Uλとなるとする。Bは開基底で高々可算濃度とする。各C∈Bに対し、Y(C):={λ∈Λ|C⊂Uλ}とする。Z:={C∈B |Y(C)≠φ}と定める。Z⊂Bより、|Z|≦|B|≦|N|(Zは高々可算)。C∈Zに対し、Y(C)の元を一つとり、ψ(C)と表す。ψ(C)全体をΛ'とすると、ψ:Z→Λ'が定まり、これは全射。|Λ'|≦|Z|より、Λ'は高々可算。X=U[λ∈Λ']Uλを示す。x∈Xを任意にとる。x∈X=U[λ∈Λ]Uλより、あるλでx∈Uλ。Bは開基底より、Bの元の族(Bμ)μ∈Mで、Uλ=U[μ∈M]Bμよってあるμでx∈Bμ⊂Uλ。λ∈Y(Bμ)≠φ、Bμ∈Z、x∈Uψ(Bμ)⊂U[λ∈Λ']Uλよって、X=U[λ∈Λ']Uλより、(X,O)はリンデレフ空間。