My problem is that I worry about stress too much.この場合のthatってなんですか？

このthatは単なる(従属)接続詞です。

つまり、I think that he is very kind. のthatと同じです。

『私は彼がとても親切だと「いうことを」思っている』という訳ですね。

ご質問の和訳＝私の問題は、ストレスを心配し過ぎる「こと」です。