バックグラウンドでの使用を許可するしないの違いは何ですか？バックグラウンドでの使用を許可しなくてもリアルタイムで通知が届きます。

アプリを常に起動しておくか、そうでないかですね。

許可にしていなくても、裏（バックグラウンド）で起動していれば、通知は来ます。
ですが必ずしも起動しているとは限りません。なので時には通知が遅れたり、来ない場合もあるのです。

許可にしていれば、裏で必ず起動しているので、通知が遅れなり来なかったりすることはなくなります。