失業手当についてです。7月末締めで前職を退職。離職票がなかなか来ず、9月中旬にやっと来ました。10月3日から新しい職場で働き始めました。その間の分は失業手当今からでも申請出来ますか？

失業手当の支給期間はハローワークに申請してから開始になりますので、できません。

支給期間はハローワークがしっかり求職状況や労働状況を監視してます。
なので、ハローワークに無申請の状況ですと、その期間の状況などはハローワークでも不明な為、支給対象期間とすることはできません。

離職票が無い状況でも、退職日から12日後からであれば「仮申請」という形で支給期間を開始することが出来ましたので、離職票が届くのが遅かったというのを理由にするのは、残念ながらできません。