24年度国立理系入試問題^_^116香川大学[理学部](3)╰(*´︶`*)╯♡何卒よろしくお願いします【学部】 創造工，医（医・臨床心理），教育（学校教育教員養成〈幼児教育・小学校教育・中学校教育B系〉），農，法【その他特記事項】 〔備考〕中学校数学，あるいは数学の出題範囲内で扱われている整数に関する性質は，問うこともあり． 〔入試科目〕創造工（Aタイプ）・医（医）学部は数I・II・III・A（場図）・B（列ベ），創造工（Aタイプ）学部は他教科との選択，教育・医（臨床心理）・農学部は数I・II・A（場図）・B（列ベ）または数I・II・III・A（場図）・B（列ベ）と他教科との選択．創造工（Bタイプ）・法学部は数I・II・A（場図）・B（列ベ）と他教科との選択． 〔注意〕創造工（Aタイプ）学部は[1]，[2]，[5]，[7]，医（医）学部は[1]～[4]，教育・医（臨床心理）・農学部は[1]，[2]，[5]必須，[6]，[7]のどちらかを選択．創造工（Bタイプ）・法学部は[1]，[2]，[5]，[6]．

a(n)+b(n)√5=(2+√5)^nのとき、

a(1)=2、b(1)=1

また、a(n+1)+b(n+1)=(2+√5)(a(n)+b(n)√5)より、

a(n+1)=2a(n)+5b(n)、b(n+1)=a(n)+2b(n)



さて、c(n)-d(n)√5=(2-√5)^nと表すと、

同様にc(1)=2、d(1)=1、c(n+1)=2c(n)+5d(n)、d(n+1)=c(n)+2d(n)であるから、

帰納的にc(n)=a(n)、d(n)=b(n)



これらの漸化式より帰納的にb(n)≥1だから、

a(n)-√5b(n)=(2-√5)^nの両辺をb(n)で割って、

a(n)/b(n)-√5=(2-√5)^n/b(n)



2-√5=√4-√5\u0026lt;0かつ2-√5-(-1)=3-√5=√9-√5\u0026gt;0より、

-1\u0026lt;2-√5\u0026lt;0

よって、0\u0026lt;|(2-√5)^n|\u0026lt;1であり、nが十分大きいときb(n)\u0026gt;1なので、0\u0026lt;|(2-√5)^n/b(n)|\u0026lt;1だから、

n→∞のとき、(2-√5)^n/b(n)→0

ゆえに、a(n)/b(n)-√5→0なので、a(n)/b(n)→√5