対角成分の上下の成分のみ持つ正方行列は対角化できない、は正しいですか？

対角成分の上下の成分のみ持つ正方行列とは、対角成分がすべて0である正方行列という事でしょうか？

その場合でも対称行列で対角成分がすべて0であるものは作れるので対角化可能なものが存在します。