名古屋大学文系数学2012の第三問の問題です。数学的帰納法を使って解くようですが、まったく頭になく、自分なりにちんぷんかんかもしれませんが、解答をつくりました。数学的帰納法でやれよって話ではあるんですが、おそらく当日だったらこの解答を出してるだろうし、解きっぱなしというのももやもやするので、果たしてができているのか、どなたか添削してくださいませんか。(問題も一緒に添付したため、非常に小さくなってしまいました。すみません。特にスマホの方は見えないと思うので、返信していただければ大きめの答案を添付します)

既出ではありますが、後半部分で貴方が示したことは3で割り切れることであって、3^rで割り切れることではありません。
3で割り切れる→3^rで割り切れる
は明らかに偽なので、示したことにはなりません。
結局r=1という限られたケースしか示されていないので、0点か、よくて1割程度の得点でしょう。

また、前半部分についてですが、
2^m+1=(3-1)^m+1
とすれば、これは(2)においてp=3としたケースです。これを利用せずにわざわざ合同式を用いた貴方の解答から分かることとして、前問をヒントとして全く見ていないことが挙げられます。

すべてとは言いませんが、95%以上の大問の最後の小問題は、それまでの小問題がヒントになっています。貴方がヒントを無視しても解けるくらい発想力が豊かなら構いませんが、現状そうではないでしょう。「それまでの問題を如何に利用するか」という視点で問題を見た方が、突破口となる発想が生まれやすくなります。

お待ちかもしれませんが、一応模範解答の一例を挙げておきます。