代理人による暗証番号変更は可能です。
ただし、お母様と住民票の住所が異なる場合、手続きには委任状が必要です。また、即日の対応はできません。
お母様は後期高齢者になりますので、お住まいの自治体窓口で、マイナンバーの保険証に代わりとなる資格確認書の交付申請が可能です(無償)。
病院ではこの資格確認書でも受診可能です。
こちらの手続きの場合、お母様と住民票が同一世帯では無い場合、委任状が委任状が必要です。
詳細は厚生労働省のHPで「資格確認書について」として掲載がありますので、お時間あれば参照下さい。