まず、私もうろ覚えなので現職場に確認された方が確実です。
その上で、問い合わせる際の予備知識として書き込みますね。
退職日と採用日に１日も間が無いですよね？
通常は公務員間の転職は、日を開けない事が条件で在職期間が引き継がれます。
退職金が支給されたのであれば、”引継ぎはなされていない”と言う事です。
ご存じだと思いますが、公務員の退職金は均等に額が上がるわけでは無く、定年に近づくにつれ上昇率が上がる仕組みです。
通常なら公務員間の転職は、日を開けない様に在職期間（勤続日数）を引き継いで、退職金の額を多くすると思うのですが・・・
秋田での採用条件が勤続日数に含まれるものかどうかは私にも分かりません。
もし、現採用区分が退職金の計算に含まれない、又は他の理由で引継ぎが出来ないのであれば返還の心配をする必要は無いはずです。
これが、「引き継げば継続で計算できるよ」なら、損をするのは質問者さんなので、可能であれば手続きした方が良いでしょう。
（質問者さんの年齢にもよりますが、数百万円以上の違いになるはずです。）
最初に書きましたが、まずは現職場、必要があれば前職場に確認されてください。
