正月があるということは偽月もあるのですか？

結論から言うと、「偽月（ぎげつ）」という言葉はありません。

「正月」の「正」は、「正しい」という意味ではなく、その年の最初の月・正式な月という意味です。

昔は月の始まりをとても大切にしていて、特に一年の最初の月を特別に「正月」と呼びました。

だから、正月があるからといって、それに対になる「偽の月」があるわけではありません。

「正」という字は、「基準」「はじまり」「正式」というニュアンスで使われている、という理解がいちばん近いです。