画像の確率の問題を教えて欲しいのですが、これってn回目以外に白玉が出る確率を別で求めなくていいんですか？画像には載ってないんですが、(2)の問題でP1(3)を求める時に、1、2、3回目の試行で白玉が出る確率をそれぞれ出して求めたのですが、、、同じようにしなくていいのでしょうか？

示されている計算式は、k回目に白玉が出た場合の確率を求め、それをk=1〜nの和でとったものです。
つまり、貴方が記したP₁(3)を求めた方法を一般化しただけであり、方針は全くの同一です。試しにn=3を代入して、計算せずに和の形で表してみてください。P₁(3)を求めた計算式がそのまま現れます。