数学チャート例題21これの解き方がよく分かりません多項式ｆ（ｘ）はすべての実数ｘについてｆ（ｘ∔1）－ｆ（ｘ）＝2ｘを満たし、ｆ（０）＝位置であるという。このとき、ｆ（ｘ）を求めよ。数弱なので、何次式かよくわからないなと思うだけで、解説見てもよくわからなかったです。解説お願いします。

多項式 f(x) の次数を n とすると、

f(x+1)-f(x) の次数は通常 n-1 です

理由：最高次の x^n が打ち消されて次数が1つ下がるため

よって、

f(x+1)-f(x)=2x ← 1次式 なので、多項式f(x)は2次式です

⇩

f(x)=ax²+bx+c ・・・①と置くと

f(0)=1 (位置は1の間違いでしょう・・・)より

f(0)=c=1 ⇨c=1

⇩

f(x)=ax²+bx+1

また

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1=ax²+(2a+b)x+(a+b+1)

⇩

f(x+1)-f(x)

=ax²+(2a+b)x+(a+b+1) - (ax²+bx+1)

=2ax+(a+b)=2x

係数を比較して

2a=2 → a=1

a+b=0 ,a=1 より b=-1

①に代入して

f(x)=x²-x+1 ・・・答え