理解のために整理します。
あなたの目的は「ipad Pro の画面に Nintendo Switch のゲーム映像を出したい」ということですね。
従来の ipad は HDMI 入力を持っていないため、キャプチャーボード（HDMI → USB 変換機）を介して画像を取り込み、その USB を ipad に繋ぐ必要があります。これは ipadOS 17 以降で USB Video Class（UVC）対応が追加されたことで可能になっています。つまりipad は UVC（カメラ等の映像入力）対応デバイスのみ映像を認識できます。 
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1) なぜ映らないのか（理論）
A．ipad で映像を認識するには UVC 対応が必須
ipad Pro は USB-C 端子を持ち、ipadOS 17 以降で「USB ビデオキャプチャ（UVC）対応機器を映像入力として表示できる」ようになりました。
ただしこれは 「UVC で映像を出せるキャプチャーデバイス」だけが認識されるという意味です。 
普通のキャプチャーボードは PC 用として設計されており、UVC 出力を最初からサポートしていない機種が多いです。
そのため Switch の映像を HDMI → キャプチャー → ipad という接続をしても ipad 側で映像として認識されず、黒画面になります。
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2) あなたのキャプチャーボードについて
あなたがお使いの AVerMedia Live Gamer EXTREME LGX2 という機器はおそらく PC でゲーム画面を取り込むタイプのキャプチャーデバイスです。
実際にはこの種の旧モデル Live Gamer Extreme（LGX2）は UVC を標準でサポートしていない設計です。
つまり PC でソフトウェア（OBS など）を使って映像を取り込むことはできても、USB デバイスとして ipad が「カメラとか映像入力」だと認識できない可能性が高いです（UVC 出力がされないため）。 
また海外の仕様表情報でも、こうした旧シリーズは HDCP 保護信号の表示や特別な UVC 出力をサポートしていないという記述があります。 
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3) 必要な条件（ipad 側）
ipad Pro に映像を映すために必要なこと
1. ipadOS 17 以降を搭載した USB-C ipad（ipad Pro もこれを満たす）
2. キャプチャーデバイスが UVC 出力をサポートしていること
3. HDMI ケーブルで Nintendo Switch → キャプチャーボード（HDMI IN）接続
4. キャプチャーボード → ipad は USB-C で接続（UVC として認識される）
5. その後、ipad 側で UVC 映像を表示するアプリを使う（例: 「UVC Capture / HDMI Monitor」等） 
注：ipad の標準カメラアプリや FaceTime を使う方法もありますが、実用的にゲーム画面を表示・フルスクリーンにするには UVC 専用ビューワーアプリが必要です。 
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4) 結論
現状の LGX2（Live Gamer Extreme）は、ipad でそのまま映像を映す用途には対応していない可能性が高いです。
理由：
• PC 向けキャプチャーボードとして設計されており UVC 出力に対応していない可能性がある。 
• ipad が求める「USB ビデオクラス（UVC）」として認識できることが必須だが、それがない機種が一般的です。 
そのため「ネットで書かれている方法を試しても映像が映らない」という現象が起きていると考えられます。
