数学、数理統計の問題です。 あまり理解が及んでおらず、こちらの問題の解答と解き方を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

(i)(ii)分けて回答します

(i)
⑴
D={(x,y) | 0\u0026lt;x,y\u0026lt;1}
とすると
1=∬ᴅ f(x,y)dxdy
=c₁∬ᴅ (x+y)dxdy
=c₁∫₀¹ (∫₀¹ (x+y)dx)dy
=c₁∫₀¹ (½+y)dy
=c₁(½+½)
=c₁ =1
∴c₁=1

⑵
fₓ(x)=∫₀¹ f(x,y)dy
=∫₀¹ (x+y)dy
=x+½ (0\u0026lt;x\u0026lt;1)
対称性から
fʏ(y)=y+½ (0\u0026lt;y\u0026lt;1)

⑶
f_X|Y (x|y)=f(x,y)/fʏ(y)
=(x+y)/(y+½) (0\u0026lt;x\u0026lt;1)

⑷
E[X|y]=∫₀¹ x•f_X|Y (x,y)dx
=∫₀¹ x(x+y)/(y+½) dx
=(y+½)⁻¹∫₀¹ (x²+xy)dx
=(y+½)⁻¹(⅓+½y)
また、
E[X²|y]=∫₀¹ x²•f_X|Y (x,y)dx
=(y+½)⁻¹∫₀¹ (x³+x²y)dx
=(y+½)⁻¹(¼+⅓y)
なので
V[X|y]=E[X²|y]-E[X|y]²
=(ただの計算なので略)



(ii)
⑴
D={(x,y) | x,y⩾0, x+y⩽2}
とおくと
1=∬ᴅ f(x,y)dxdy
=∫₀²(∫₀²⁻ˣ c₂ dy)dx
=c₂∫₀² (2-x)dx
=2c₂
∴c₂=½

⑵
fₓ(x)=∫₀²⁻ˣ f(x,y)dy
=½∫₀²⁻ˣdy
=1-½x (0⩽x⩽2)
対称性から
fʏ(y)=1-½y (0⩽y⩽2)

⑶
f_X|Y(x|y)=f(x,y)/fʏ(y)
=½/(1-½y)
=(2-y)⁻¹ (0⩽x⩽2-y)

⑷
E[X|y]=∫₀²⁻ʸ x•(2-y)⁻¹ dx
=(2-y)⁻¹•½(2-y)²
=½(2-y)
E[X²|y]=∫₀²⁻ʸ x²•(2-y)⁻¹ dx
=(2-y)⁻¹•⅓(2-y)³
=⅓(2-y)²
∴V[X|y]=E[X²|y]-E[X|y]²
=⅓(2-y)²-¼(2-y)²
=(2-y)²/12